y El teorema de Green es un caso especial, y surge de otros 2 teoremas muy importantes en la rama del clculo. La demostracin del teorema se basa principalmente en desarrollara ambos miembros de la igualdad en un caso particular de cubos y despus es fcil extenderlo a k-cadenas en general, se har detenidamente y mencionando los detalles detenidamente, la demostracin esta basada en la hecha en la . CAPITULO V. EJERCICIOS DESARROLLADOS DEL TEOREMA DE GREEN Y STOKES TEOREMA DE GREEN. El campo de velocidad v=0,1x2 ,0,v=0,1x2 ,0, por |x|1y|z|1,|x|1y|z|1, representa un flujo horizontal en la direccin y. Calcule el rizo de v en una rotacin en el sentido de las agujas del reloj. F(x,y,z)=(x+2 z)i+(yx)j+(zy)k;F(x,y,z)=(x+2 z)i+(yx)j+(zy)k; S es una regin triangular con vrtices (3, 0, 0), (0, 3/2, 0) y (0, 0, 3). El teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes, donde la proyeccin de la funcin vectorial se realiza en el plano xy. La Ecuacin 6.23 muestra que las integrales de flujo de los campos vectoriales de rizo son independientes de la superficie del mismo modo que las integrales de lnea de los campos de gradiente son independientes de la trayectoria. En los siguientes problemas debe usar el teorema de Green para hallar la solucin (justifique cada paso de la solucin). Se sabe que una trayectoria cerrada C determinada en el plano 2 x+2 y+z=12 x+2 y+z=1 se proyecta sobre el crculo unitario x2 +y2 =1x2 +y2 =1 en el plano xy. En realidad hay varios pares de funciones que satisfacen esto. Administrador blog Aplican Compartida 2019 tambin recopila imgenes relacionadas con ejercicios de derivadas parciales aplicadas a la economia se detalla a continuacin. TEOREMA de GREEN EJERCICIOS resueltos y FUNDAMENTO FISICO (Calculo vectorial) Ingeniosos 11.9K subscribers Subscribe 1.1K 34K views 2 years ago APRENDE a utilizar el TEOREMA de. El teorema de Green se presenta comnmente como: Esto tambin es parecido a como suelen verse los problemas de prctica y las preguntas de examen. cos t + a 2 4 sen t cos t ] dt = a 2 8 (a + 4). Ahora que hemos conocido el teorema de Stokes, podemos hablar de sus aplicaciones en el mbito del electromagnetismo. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. x $$$\gamma(t)=(2\cdot\cos(t),2\cdot\sin(t),2), \mbox{ para } t\in[0,2\pi]$$$, Calculamos Segn el teorema de Stokes. y Si los valores de DrDr es lo suficientemente pequeo, entonces (rizoF)(P)(rizoF)(P0)(rizoF)(P)(rizoF)(P0) para todos los puntos P en DrDr porque el rizo es continuo. El teorema de Green puede convertir integrales de lnea difciles en integrales dobles ms directas. Verifica el teorema de green para el campo vectorial F y la regin "D" que se indica. En otras palabras, B tiene la forma, donde P, Q y R pueden variar continuamente en el tiempo. La demostracin completa del teorema de Stokes est fuera del alcance de este texto. $$$-4\int_0^{2\pi}(3\sin^2(t)+2\cos^2(t))dt=\left\{\begin{array}{c} 2\sin^2(t)+2\cos^2(t)=2 \\ \sin^2(t)=\dfrac{1-\cos(2t)}{2} \end{array}\right\}=$$$ Y de aqu, desarrolla cada pedazo de la integral de lnea, del rotacional, etc. Armados con estas parametrizaciones, la regla de la cadena y el teorema de Green, y teniendo en cuenta que P, Q y R son todas funciones de x y de y, podemos evaluar la integral de lnea CF.dr:CF.dr: Segn el teorema de Clairaut, 2 zxy=2 zyx.2 zxy=2 zyx. En otras palabras, el valor de la integral depende solo del borde de la trayectoria, no depende realmente de la trayectoria en s. El teorema de Stokes es una teora propuesta por dos cientficos irlandeses de las reas fsica y matemtica. r : Es un vector tangente a la regin R sobre la que se define la integral. Teorema de Green 7 1. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Por lo tanto, hemos verificado el teorema de Stokes para este ejemplo. Nunca te enviaremos publicidad de terceros, slo noticias y actualizaciones de la plataforma. Supongamos que S es la parte del paraboloide z=9x2 y2 z=9x2 y2 con la z0.z0. Supongamos que C denota el borde de S y supongamos que C denota el borde de D. Entonces, D es la "sombra" de S en el plano y C es la "sombra" de C. Supongamos que S est orientado hacia arriba. Exmen preguntas y respuestas; Ejercicios Resueltos; Tema 1 - Conceptos de Unidad Didctica; Resumen Ser y tiempo; . Utilizar el teorema de Stokes para evaluar una integral de lnea. Utilizamos la forma ampliada del teorema de Green para demostrar que C F. d r C F. d r es 0 o 2 2 , es decir, por muy loca que sea la curva C, la integral de lnea de F a lo largo de C solo puede tener uno de los dos valores posibles. , Calculo de . Para este caso se considera esta expresin: Donde al resolver las integrales obtenemos: Este valor corresponde en unidades cbicas a la regin debajo de la funcin vectorial y sobre la regin triangular definida por C. Para el caso de la integral de lnea sin efectuar el mtodo de Green, hubiese sido necesario parametrizar las funciones en cada tramo de la regin. BCMV_U3_A1_ARCL.docx. Una superficie complicada en un campo vectorial. Sea una superficie suave orientada en con frontera .Si un campo vectorial = ((,,), (,,), (,,)) est definido y tiene derivadas parciales continuas en una regin abierta que contiene a entonces = de manera ms explcita, la igualdad anterior dice que (+ +) = [() + + ()]Aplicaciones Ecuaciones de Maxwell. La cantidad (rizoF)(P0).N(P0)(rizoF)(P0).N(P0) es constante y, por lo tanto, y la aproximacin se acerca arbitrariamente a medida que el radio se reduce a cero. TEOREMA DE GREEN UNA REGIN PLANA 7.8. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F (x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba. Para calcular la integral de lnea directamente, tenemos que parametrizar cada lado del paralelogramo por separado, calcular cuatro integrales de lnea por separado y sumar el resultado. Aqu, vamos a hacer lo opuesto. x Evale CF.drCF.dr por F=0,z,2 y,F=0,z,2 y, donde C tiene una orientacin contraria a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba. Dado que el rea del disco es r2 ,r2 , esta ecuacin dice que podemos ver el rizo (en el lmite) como la circulacin por unidad de superficie. Utilice el teorema de Stokes para evaluar C(ckR).dS.C(ckR).dS. Utilizar el teorema de Stokes para evaluar la integral de lnea C(zdx+xdy+ydz),C(zdx+xdy+ydz), donde C es un tringulo con los vrtices (3, 0, 0), (0, 0, 2) y (0, 6, 0) recorridos en el orden dado. Teorema de Stokes 55 Matemticas TEOREMA DE STOKES Ejercicios Resueltos ENUNCIADO DEL TEOREMA . Por lo tanto, los mtodos que hemos aprendido en las secciones anteriores no son tiles para este problema. Fue publicado en 1828 en la obra Mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism, escrito por el matemtico britnico George Green. , La rueda de paletas alcanza su rapidez mxima cuando el eje de la rueda apunta en la direccin del rizoF. View ejercicios-resueltos-teorema-de-stokes-ejercicios-analisis.pdf from MATH 130.115 at Harvard Wilson College of Education. No existe una manera nica de definir los lmites de integracin al aplicar el teorema de Green. En los siguientes ejercicios, supongamos que S es el disco delimitado por la curva. Clculo diferencial e integral - Mariano Soler Dorda 1997-01 . Estos son el teorema de Kelvin-Stokes y el teorema de divergencia o de Gauss Ostrogradski. ds = 0. Utilizamos el teorema de Stokes para derivar la ley de Faraday, un importante resultado relacionado con los campos elctricos. z En sentido contrario de las manecillas del reloj. Las funciones implicadas deben estar denotadas como campos vectoriales y definidas dentro de la trayectoria C. Por ejemplo una expresin de integral de lnea puede ser muy complicada de resolver; sin embargo al implementar el teorema de Green, las integrales dobles se vuelven bastante bsicas. Si F es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que contiene a S, entonces. $$$-\int_0^2\int_0^{2\pi}\Big(\dfrac{r^6}{4}\cdot\cos(t)+r^3\cdot\dfrac{1+\cos(2t)}{2}+\dfrac{r^3}{2}+3r\Big)dtdr=$$$ Tome el paraboloide z=x2 +y2 ,z=x2 +y2 , para 0z4,0z4, y crtelo con el plano y=0.y=0. Demostraci on de Stokes (caso general, super cies parametrizadas . Como el campo magntico no cambia con respecto al tiempo, Bt=0.Bt=0. Los momentos de inercia de muchos cuerpos sometidos a fuerzas externas en diferentes puntos de aplicacin, tambin responden a integrales de lnea desarrollables con el teorema de Green. En ella se exploran apartados bastante determinantes en la aplicacin del clculo en la fsica, como el concepto funciones de potencial, las funciones de Green y las aplicaciones de su teorema auto titulado. Veamos: El rea de una regin D viene dada por A 1dA D . 1999-2023, Rice University. Donde $$Tx = (1,0, x), Ty = (0,1, y)$$, y por lo tanto, $$T_x \times T_y = (-x, - y, 1)$$. En los siguientes ejercicios, sin utilizar el teorema de Stokes, calcule directamente tanto el flujo de rizoF.NrizoF.N sobre la superficie dada y la integral de circulacin alrededor de su borde, suponiendo que todos los bordes estn orientados en el sentido de las agujas del reloj vistos desde arriba. Despus de hacer esto un par de veces, es suficientemente natural hacerlo en tu cabeza. Ahora basta suponer que la funcin vectorial F est definida nicamente para g(x,y)j. Donde al operar de manera homologa al caso anterior, se obtiene: Para finalizar, se toman las 2 demostraciones y se unen en el caso donde la funcin vectorial toma valores para ambos versores. Anlogamente, con nuestra ecuacin D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS,D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS, no podemos concluir simplemente que rizoE=BtrizoE=Bt solo porque sus integrales son iguales. Para ver este efecto de forma ms concreta, imagine que coloca una pequea rueda de paletas en el punto P0P0 (Figura 6.86). 3 dada por (,) = cos,sen,0 (r 66R . Ambas integrales son iguales a 12 ,12 , por lo que 01xdx=01f(x)dx.01xdx=01f(x)dx. Lo mismo ocurre con las integrales de lnea sobre los otros tres lados de E. Estas tres integrales de lnea se cancelan con la integral de lnea del lado inferior del cuadrado por encima de E, la integral de lnea sobre el lado izquierdo del cuadrado a la derecha de E y la integral de lnea sobre el lado superior del cuadrado por debajo de E (Figura 6.81). 3. C:r(t)=coscost,sent,sencost,C:r(t)=coscost,sent,sencost, para 0t2 ,0t2 , donde 02 02 es un ngulo fijo. (14 de julio de 2019). Por el teorema de Stokes. Si queremos calcular la integral aplicando el teorema de Stokes, la trayectoria debe ser cerrada. Recuperado de: https://www.lifeder.com/teorema-de-green/. Teorema de Stokes 19 1. Siempre empiezo por pensar en esta forma: Esto se me hace ms fcil de recordar porque en realidad tiene un significado fsico (ver el artculo anterior para ms detalles): Para obtener la versin del teorema en trminos de. Se aplica la definicin del teorema fundamental del clculo para una integral definida. Podemos quitar todos los . estn autorizados conforme a la, Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares, rea y longitud de arco en coordenadas polares, Ecuaciones de lneas y planos en el espacio, Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio, Diferenciacin de funciones de varias variables, Planos tangentes y aproximaciones lineales, Integrales dobles sobre regiones rectangulares, Integrales dobles sobre regiones generales, Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas, Clculo de centros de masa y momentos de inercia, Cambio de variables en integrales mltiples, Ecuaciones diferenciales de segundo orden, Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series. triples El teorema de Green Teorema de la divergencia El teorema de Stokes Integracin numrica aproximada con MatlabFunciones de . 42-43 16.9 Teorema de la Divergencia [1103] 5-14, 23-30. Esto es evidencia suficiente de la eficacia que Robert Green aport con su teorema al clculo. Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. Con esta definicin, podemos enunciar el teorema de Stokes. F(x,y,z)=4yi+zj+2 ykF(x,y,z)=4yi+zj+2 yk y C es la interseccin de la esfera x2 +y2 +z2 =4x2 +y2 +z2 =4 con el plano z=0,z=0, y utilizando el vector normal que est hacia afuera. Pero s hay formas donde las integrales luego de ser definidas pueden resultar ms simples. $$$=-2\cdot\Big[\dfrac{r^4}{8}\Big]_0^2\cdot[t]_0^{2\pi}-3\Big[\dfrac{r^2}{2}\Big]_0^2\cdot[t]_0^{2\pi}=-20\pi$$$. Calcular el rea de una regin al usar una integral de lnea alrededor de su frontera? En efecto, al cortar el cilindro Kpor el plano x= 0 obtenemos una descomposicion de Ken dos Como integral de superficie, tieneg(x,y)=4x2 y2 ,gx=2yg(x,y)=4x2 y2 ,gx=2y y. Como integral de lnea, puede parametrizar C mediante r(t)=2 cost,2 sent,00t2 r(t)=2 cost,2 sent,00t2 . Por lo tanto, para . Esto tiene mltiples funcionalidades en los estudios de resistencia de materiales bajo uso. T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F(x,y,z)=(sen(y+z)yx2 y33)i+xcos(y+z)j+cos(2 y)kF(x,y,z)=(sen(y+z)yx2 y33)i+xcos(y+z)j+cos(2 y)k y S est formado por la parte superior y las cuatro caras pero no por la parte inferior del cubo con vrtices (1,1,1),(1,1,1), orientado hacia el exterior. En general, supongamos que S1S1 y S2 S2 son superficies lisas con el mismo borde C y la misma orientacin. Sin embargo, el que xf(x).xf(x). Por el teorema de Stokes. Solucion Recordemos que si F es un campo vectorial bidimensional conservativo definido en un dominio simplemente conectado, ff es una funcin potencial para F, y C es una curva en el dominio de F, entonces CF.drCF.dr solo depende de los puntos finales de C. Por lo tanto, si C es cualquier otra curva con el mismo punto inicial y final que C (es decir, C tiene la misma orientacin que C), entonces CF.dr=CF.dr.CF.dr=CF.dr. La forma integral de la ley de Faraday establece que, En otras palabras, el trabajo realizado por E es la integral de lnea alrededor del borde, que tambin es igual a la tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo. Antecedentes El teorema de Green El flujo en tres dimensiones El rotacional en tres dimensiones k es nula, pues en virtud del teorema de Green, I Gk P dx+Q dy = ZZ Rk Q x P y dx dy =0: Por tanto, Z C1 f da = Z C2 f db: Esto completa la prueba. Aqu hay una explicacin ejercicios de derivadas parciales aplicadas a la economia podemos compartir. Como el teorema de Green se aplica a curvas orientadas en sentido contrario a las manecillas del reloj, esto significa que tendremos que tomar el negativo de nuestra respuesta final. Si F representa el campo de velocidad de un fluido en el espacio, la circulacin mide la tendencia del fluido a moverse en la direccin de C. Supongamos que F es un campo vectorial continuo y supongamos que DrDr es un pequeo disco de radio r con centro P0P0 (Figura 6.85). Anlogamente, supongamos que S y S son superficies con el mismo borde y la misma orientacin, y supongamos que G es un campo vectorial tridimensional que puede escribirse como el rizo de otro campo vectorial F (de modo que F es como un "campo potencial" de G). Segn el teorema de Green, el flujo a travs de cada cuadrado de aproximacin es una integral de lnea sobre su borde. . El teorema de Green se llama as por el cientfico britnico George Green, y resulta ser un caso especial del ms general teorema de Stokes. Supongamos que la superficie S es una regin plana en el plano xy con orientacin hacia arriba. Estos son el teorema de Kelvin-Stokes y el teorema de divergencia o de Gauss Ostrogradski. Utilizar el teorema de Stokes para calcular un rizo. TEOREMAS DE STOKES Y GAUSS El teorema de Stokes puede aplicarse a muchas mas supercies que las parametricas simples que guran en su enunciado. Se reordena la expresin en una sola integral, se hace factor comn al negativo y se invierte el orden de los factores. En el segundo trmino vemos el teorema de Green desarrollado, donde se observa la integral doble definida en la regin R de la diferencia de las derivadas parciales de g y f, con respecto a x e y respectivamente. George Green formaliz su carrera estudiantil a los 40 aos, siendo hasta el momento un matemtico completamente autodidacta. Capitulo V. Ejercicios resueltos del teorema de Green y el teorema de Stokes 39 CONCLUSIONES 68 RECOMENDACIONES 69 BIBLIOGRAFIA 70 . Supongamos que F=2 z+y,2 x+z,2 y+x.F=2 z+y,2 x+z,2 y+x. 7.6. , Tambin fue importante que pudiramos calcular fcilmente el rea de la regin en cuestin. Utilice la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular la circulacin del campo F, F(x,y,z)=x2 y3i+j+zkF(x,y,z)=x2 y3i+j+zk alrededor de C, que es la interseccin del cilindro x2 +y2 =4x2 +y2 =4 y hemisferio x2 +y2 +z2 =16,z0,x2 +y2 +z2 =16,z0, orientado en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba. Despus de que ocurra toda esta cancelacin sobre todos los cuadrados de aproximacin, las nicas integrales de lnea que sobreviven son las integrales de lnea sobre los lados que aproximan el borde de S. Por lo tanto, la suma de todos los flujos (que, segn el teorema de Green, es la suma de todas las integrales de lnea alrededor de los bordes de los cuadrados de aproximacin) puede ser aproximada por una integral de lnea sobre el borde de S. En el lmite, como las reas de los cuadrados de aproximacin van a cero, esta aproximacin se acerca arbitrariamente al flujo. Esto no es demasiado complicado, pero s requiere mucho tiempo. Calcule la integral de superficie SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde S es la superficie, orientada hacia el exterior, en la Figura 6.84 y F=z,2 xy,x+y.F=z,2 xy,x+y. Usar el teorema de Stokes para calcular la integral de lnea Z C (y2 z2)dx+(z2 x2)dy +(x2 y2)dz, donde C es la curva interseccion de la supercie del cubo 0 x a, 0 y a, 0 z a y el plano x+y +z = 3a/2, recorrida en sentido positivo. Y de hecho, son iguales. 3 Podemos producir corriente a lo largo del alambre cambiando el campo B(t)B(t) (esto es una consecuencia de la ley de Ampere). exmenes y ejercicios resueltos? F(x,y,z)=xyi+x2 j+z2 k;F(x,y,z)=xyi+x2 j+z2 k; y C es la interseccin del paraboloide z=x2 +y2 z=x2 +y2 y el plano z=y,z=y, y utilizando el vector normal que est hacia afuera. Supongamos que S es un paraboloide z=a(1x2 y2 ),z=a(1x2 y2 ), por z0,z0, donde a>0a>0 es un nmero real. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES 7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO 7.8.4 TEOREMA DE GAUSS Objetivos. Teoremas Integrales 1-Teorema de Green: Dentro de los Teoremas integrales se desarroll el Teorema de Green, el cual permiti modelar diversas situaciones en el marco de las teoras de electricidad magnetismo y el anlisis de fluidos. As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases. 2 El rizo de F es z,0,x,z,0,x, y el teorema de Stokes y la Ecuacin 6.19 dan. 2 Ejercicios de Teorema de Green, teorema de Gauss y teorema de Stokes. Teorema. Para despus fuera Carl Friedrich Gauss quien dira continuidad en el ao de 1813, luego fue George Green en 1825 y finalmente, fue Mikhail Vasilievich Ostrogradsky quien dio las variaciones de este teorema, el cual es conocido como teorema de Gauss, teorema de Green o teorema de Ostrogradsky. William Thompson fue el prime el realizar sus aportes a este postulado. En particular, examinamos cmo podemos utilizar el teorema de Stokes para traducir entre dos formas equivalentes de la ley de Faraday. La curva de borde, C, est orientada en el sentido de las agujas del reloj cuando se mira a lo largo del eje y positivo. M y ) dA z El teorema de Stokes Esta es la versin tridimensional del teorema de Green, que relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial con una integral de lnea alrededor de la frontera de esa superficie. z . Supongamos que S es una superficie lisa, orientada y a trozos con un borde que es una curva simple cerrada C con orientacin positiva (Figura 6.79).Si F es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que contiene a S, entonces 2010, Application of Greens Theorem to the Extremization of Linear Integrals. (02 ,0r3). Por la Ecuacin 6.19. conceptos tericos, al final de cada captulo se incluye una coleccin de ejercicios resueltos. En este caso se opera con un diferencial de este vector. Sabes ingls? La integral de lnea de un campo vectorial. Pero es importante recordar que siempre debes preguntarte esto al usar el teorema de Green. El teorema de Sylvester. herramienta de citas como, Autores: Gilbert Strang, Edwin Jed Herman. Teorema de Green, demostracin, aplicaciones y ejercicios, ngulos conjugados internos y externos: ejemplos, ejercicios, Polgono convexo: definicin, elementos, propiedades, ejemplos, Poltica de Privacidad y Poltica de Cookies, Introduction to Continuum Mechanics. Desarrolle las generalidades del teorema de Green de forma completa y especifique . El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo F a travs de la superficie S conociendo solo la informacin sobre los valores de F a lo largo del borde de S. A la inversa, podemos calcular la integral de lnea del campo vectorial F a lo largo del borde de la superficie S traduciendo a una integral doble del rizo de F sobre S. Supongamos que S es una superficie lisa orientada con el vector normal unitario N. Adems, supongamos que el borde de S es una curva simple cerrada C. La orientacin de S induce la orientacin positiva de C si, al caminar en la direccin positiva alrededor de C con la cabeza apuntando en la direccin de N, la superficie est siempre a su izquierda. En primer lugar, veremos una demostracin informal del teorema. Teorema de Green: Demuestra la relacin existente entre la integral de lnea alrededor de una curva C, y la integral doble sobre una regin plana D. Nabla (): Operador diferencial. $$$=-\int_0^2\int_0^{2\pi}\Big(\dfrac{r^5}{4}\cdot\cos(t)+r^2\cdot\cos^2(t)+\dfrac{r^2}{2}+3\Big)\cdot r\cdot dtdr=$$$ Solucin: 2. El teorema enuncia Sean una regin simplemente conexa, su frontera orientada en sentido positivo y un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre entonces Orientaciones de curvas 8 3. Para ver por qu el smbolo de la integral no se cancela en general, considere las dos integrales de una sola variable 01xdx01xdx y 01f(x)dx,01f(x)dx, donde. En los dos ejemplos anteriores, utilizamos el teorema de Green para transformar una integral de lnea en una integral doble. Utilice el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS.SrizoF.dS. Cul es la circulacin de C del campo vectorial F=y,z,xF=y,z,x en funcin de ?? Utilice el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x,y,z)=zi+3xj+2 zkF(x,y,z)=zi+3xj+2 zk donde S es la superficie z=1x2 y2 ,z0,z=1x2 y2 ,z0, C es el crculo de borde x2 +y2 =1,x2 +y2 =1, y S est orientado en la direccin z positiva.

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